Στοχαστικά Μαθηματικά (πιθανότητες- στατιστική).

Στοχαστικά Μαθηματικά (πιθανότητες- στατιστική).

Θα ασχοληθούμε με γνωστές και άγνωστες ιστορίες  «στοιχημάτων»  και προβλέψεων του μέλλοντος, «πώς μπορείς να πεις ψέματα με την στατιστική»  Επιπλέον, θα μας απασχολήσει η «Κοινωνική Στατιστική»

Καθημερινά τα ΜΜΕ παρουσιάζουν στατιστικές πληροφορίες για ένα πλήθος ζητημάτων (οικονομία, ιατρική, κοινωνικά θέματα, πολιτική κ.λπ.), οι οποίες επηρεάζουν τη λήψη αποφάσεων στην προσωπική, επαγγελματική και κοινωνική μας ζωή. Ο βασικός σκοπός της διδασκαλίας των Στοχαστικών Μαθηματικών (Στατιστική, Πιθανότητες) στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση είναι να αναπτύξει την ικανότητα του μαθητή-μελλοντικού πολίτη-να αξιολογεί κριτικά πληροφορίες, να εξάγει συμπεράσματα, να κάνει προβλέψεις και να λαμβάνει αποφάσεις κάτω από αβέβαιες συνθήκες.  Η βασική διαφορά των Στοχαστικών Μαθηματικών από τις άλλες  θεματικές περιοχές των Μαθηματικών είναι ότι μελετά προβλήματα που σχετίζονται με τη μεταβλητότητα δεδομένων, δηλαδή με την διαφορετικότητα που υπάρχει γύρω μας (π.χ. τα άτομα διαφέρουν, οι συνθήκες ενός πειράματος διαφέρουν) (Garfield & Ben-Zvi, 2007, 2008).» ( Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση/ Νέα Προγράμματα Σπουδών Υποχρεωτικής εκπαίδευσης.

Στατιστική

·         Συλλογή και  οργάνωση, αναπαράσταση και ερμηνεία δεδομένων

·         Τα μέτρα θέσης /επικρατούσα τιμή, η διάμεσος  και η μέση τιμή

·         Μεταβλητότητα- διασπορά των δεδομένων

Πιθανότητες

Πείραμα τύχης/αναφέρεται στην πραγματοποίηση πειραμάτων που μπορεί να επαναληφθούν πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες και των οποίων τα αποτελέσματα δεν είναι προβλέψιμα.

 Πιθανότητα ενδεχομένου/ αφορά στον υπολογισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου

Τι είναι Στατιστική;

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%84%CE%B1%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE

Η ανθρώπινη ευφυΐα υπήρξε ανέκαθεν ακανθώδες θέμα για τις επιστήμες, ιδιαίτερα σε ό,τι αφορά τις διακυμάνσεις της μεταξύ των φύλων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η αντίδραση στις δηλώσεις του πρώην προέδρου του Χάρβαρντ, Λάρι Σάμερς το 2005, σχετικά με τη μειωμένη ικανότητα των γυναικών στα μαθηματικά και τις θετικές επιστήμες

Ιστορία της τυχαιότητας

Είναι δυνατόν η  συλλογή και η ανάλυση στατιστικών δεδομένων να εξιχνιάσει το θάνατο χιλιάδων ανθρώπων; Η απάντηση είναι θετική και χαρακτηριστικό  παράδειγμα αποτελεί ο χάρτης χολέρας του Snow.

Για παράδειγμα  πολλές έρευνες που γίνονται μέσω τηλεοράσεως  δεν είναι ακριβείς γιατί επαφίενται  κυρίως στην διάθεση του κάθε  ατόμου να τηλεφωνήσει στο  σταθμό της τηλεόρασης και να πει την άποψή του ή όχι.  Στην περίπτωση αυτή τα αποτελέσματα λέμε ότι είναι μεροληπτικά (biased).

How to Lie with Statistics

 

Ιστορική Αναδρομή

στην έννοια της Πιθανότητας

Η θεωρία Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από την ανάγκη να αντιμετωπισθούν πρακτικά προβλήματα. Ο 17^ος  αιώνας χαρακτηρίζεται από την ανάπτυξη του διεθνούς εμπορίου και την πληρωμή ασφαλίστρων, όπου έπρεπε να ληφθούν υπόψη τα ατυχήματα κατά τη μεταφορά.

Επίσης η οργάνωση του κράτους με τα νέα δεδομένα απαιτούσε υπολογισμούς εσόδων και εξόδων. Γνωστοί μαθηματικοί συμβούλευαν τους ηγεμόνες για το ποσό που αναμένεται να συγκεντρωθεί από φόρους, για το πλήθος των κατοίκων της χώρας ή του στρατού κλπ. Αναφέρεται ότι ο Leonard Euler (1707-1783) έδωσε συμβουλές στο βασιλιά Frederick της Πρωσίας το 1754 και το 1763 για την τιμή πώλησης των κρατικών λαχείων.

Τέλος η ανάπτυξη της αστρονομίας οδήγησε τον Galileo Galilei (1564­1642) να μελετήσει τα σφάλματα των παρατηρήσεων που τα θεωρούσε τυχαία.

Τα προβλήματα αυτά ήταν σύνθετα και δύσκολα, γι' αυτό οι πρώτοι ποσοτικοί υπολογισμοί της πιθανότητας δόθηκαν σε πιο απλά προβλήματα, όπως αυτά που προέκυπταν από τυχερά παιχνίδια.

Η αλληλογραφία, γύρω στα 1650 των Blaise Pascal (1623-1662) και Pierre de Fermat (1601-1665) περιέχει τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγματα από τυχερά παιχνίδια. Είχε προηγηθεί ο υπολογισμός των πιθανοτήτων στη ρίψη κύβου (ζαριού) ή κύβων, όπως δίνεται στο βιβλίο του G. Cardano (1501-1576) που δημοσιεύτηκε το 1663 ένα αιώνα περίπου μετά το θάνατό του.

Η σημερινή αξιωματική θεμελίωση οφείλεται στον Α.Ν. Kolmogorov το 1933 που παρουσίασε τις πιθανότητες ως ειδική περίπτωση της θεωρίας μέτρου.Η θεωρία του Kolmogorov, δεν είναι μόνον απλή και ικανοποιητική όσον αφορά τη μαθηματική αυστηρότητα, αλλά έβαλε και τα θεμέλια για τις εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων.

Γύρω μας υπάρχουν παντού αναφορές στις πιθανότητες: Ο μετεωρολόγος στο δελτίο καιρού της τηλεόρασης προβλέπει 60% πιθανότητα να χιονίσει αύριο. Οι Ιατρικοί ερευνητές προβλέπουν ότι οι άνθρωποι με τρώνε λιπαρές τροφές έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να νοσήσουν από καρδιαγγειακά νοσήματα κά.

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του πειράματος τύχης, όπως είδαμε, είναι η αβεβαιότητα για το ποιο αποτέλεσμα του πειράματος θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του.

Επομένως, δεν μπορούμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε αν  ένα ενδεχόμενο θα πραγματοποιηθεί ή όχι. Γι’ αυτό είναι χρήσιμο να αντιστοιχίσουμε σε κάθε ενδεχόμενο έναν αριθμό, που θα είναι ένα μέτρο της “προσδοκίας” με την οποία αναμένουμε την πραγματοποίησή του. Τον αριθμό αυτό τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου

Πώς όμως θα προσδιορίσουμε για κάθε ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης την πιθανότητά του;

Όταν όλα τα πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης είναι ισοπίθανα , η θεωρητική πιθανότητα ενός ενδεχομένου / γεγονότος είναι

Αριθμός αποτελεσμάτων στο γεγονός

___________________________________

Αριθμός πιθανών αποτελεσμάτων

Ας εξετάσουμε την  περίπτωση του  νομίσματος.

Ρίχνουμε ένα τέτοιο νόμισμα και παρατηρούμε την όψη που θα εμφανιστεί. Όπως διαπιστώσαμε προηγουμένως η σχετική συχνότητα καθενός από τα απλά ενδεχόμενα {K},{Γ} τείνει στον αριθμό.

Πείραμα Τύχης Όπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, αν θερμάνουμε το  νερό καθώς πλησιάζει στους    100o Κελσίου  θα βράσει.. Κάθε τέτοιο πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό (deterministic) πείραμα. Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης (random experiment). Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο αριθμός αυτός εξαρτάται από πολλούς απρόβλεπτους παράγοντες.  Πειράματα τύχης είναι και τα εξής: Ρίχνεται ένα νόμισμα και καταγράφεται η άνω όψη του. Ρίχνεται ένα ζάρι και καταγράφεται η ένδειξη της άνω έδρας του. Διαλέγεται αυθαίρετα μια οικογένεια με δύο παιδιά και εξετάζεται ως προς το φύλο των παιδιών και τη σειρά γέννησής τους. Επιλέγεται τυχαία μια τηλεφωνική συνδιάλεξη και καταγράφεται η διάρκειά της. Γίνεται η κλήρωση του ΛΟΤΤΟ και καταγράφεται το αποτέλεσμα. Την παραμονή του Πάσχα, στις 5 μ.μ., μετράται το μήκος της ουράς των αυτοκινήτων στα πρώτα διόδια της Εθνικής οδού Αθηνών-Λαμίας. Επιλέγεται τυχαία μια μέρα της εβδομάδος και μετράται ο αριθμός των τηλεθεατών που παρακολούθησαν το απογευματινό δελτίο ειδήσεων στην ΕΤ1.

Δειγματικός Χώρος Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) Έτσι, στο πρώτο από τα παραπάνω πειράματα τύχης, αν με Κ συμβολίσουμε το αποτέλεσμα να φέρουμε “κεφαλή” και με Γ το αποτέλεσμα να φέρουμε “γράμματα”, τότε ο δειγματικός χώρος είναι Ω={Κ,Γ}. Επίσης, στο δεύτερο από τα παραπάνω πειράματα τύχης η ένδειξη της άνω έδρας μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Επομένως, ο δειγματικός χώρος είναι Ω={1,2,3,4,5,6}.

Ενδεχόμενα

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο (event) ή γεγονός.

Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα A={2,4,6} , B={1,3,5} και Γ={6} είναι ενδεχόμενα. Το Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό, το Β να φέρουμε περιττό αριθμό και το Γ να φέρουμε 6.

 Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία. Για παράδειγμα, το Γ είναι ένα απλό ενδεχόμενο, ενώ τα Α και Β είναι σύνθετα ενδεχόμενα.

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα Στη ρίψη ενός ζαριού αν Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό και B το ενδεχόμενο να φέρουμε περιττό αριθμό, έχουμε A={2,4,6} και B={1,3,5} . Παρατηρούμε ότι τα Α και B δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν συγχρόνως, αφού δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Στην περίπτωση αυτή τα Α και B λέγονται ασυμβίβαστα. Γενικά: Πηγές : 1. Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων (Α Γενικού Λυκείου - Γενικής Παιδείας):http://digitalschool.minedu.gov.gr/modules/units/?course=DSGL-A100&id=1797

2.Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση (Δημοτικό)Οδηγός για τον εκπαιδευτικό «Εργαλεία Διδακτικών Προσεγγίσεων»:http://digitalschool.minedu.gov.gr/info/newps/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC%20%E2%80%94%20%CE%9F%CE%B4%CE%B7%CE%B3%CF%8C%CF%82%20%CE%94%CE%B7%CE%BC%CE%BF%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D.pdf